La Parábola

Presentación Prezi

Explicación paso a paso de una parábola
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Historia de la parabola

Primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.(elipses, hipérbolas y parábolas)

demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes,las propiedades más interesantes y útiles

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones; La llamada Geometría Analítica.

Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física; como lo son en la óptica.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol

Parábola significaba equiparación.

A) Circulo o Circunferencia: El plano es perpendicular a el eje de la superficie cónica.

B) Parábola: El plano el plano es paralelo a la generatriz de la superficie cónica.

C) Elipse : El plano corta transversalmente a la superficie cónica.

D) Hipérbola: El plano se corta las dos ramas de la superficie cónica.

Se define la parábola como el lugar geométrico de puntos que equidistan de un punto(foco) y de una recta fija llamada DIRECTRIZ

Personajes importantes en la historia de la parabola

Apolonio de Perga, tambien llamado el Gran Geometra: Nacio en Perga, ciudad antigua de grecia aproximadamente en el año 262, muriendo en el año 190.Principal exponente que realizo trabajos y fundo las bases de la geometria principalmente con el tema de Conicas .

Fue el tercer talento griego ya que estudio las conicas y les dio un nombre; se le atribuye la hipotesis de las orbitas que explica e movimiento de los planetas, teniendo en cuenta la velocidad de la luna.

Su mayor reconocimento es la resolución de "El problema de Apolonio", problema que planteó y que buscaba las circunferencias tangentes a tres circunferencias y que aparece en su obra "Las Tangencias o Los Contactos".

Menecmo : Nació en Proconeso,en el año 375 a.c y murio en el 325.

Gran matemático griego. Estudio la duplicación del cubo descubrió, al parecer, las secciones cónicas. Fue discípulo de Eudoxio y amigo de Platón.

Rene Descartes: Nacio en Francia 1596 y murio en estocolmo 1650. Fue filosofo y matematico.

El método cartesiano, que Descartes propuso para todas las ciencias y disciplinas, consiste en descomponer los problemas complejos en partes progresivamente más sencillas hasta hallar sus elementos básicos.

Descartes dejaba una obra importante y sobretodo novedosa, se puede afirmar que, entre todas las obra mas importantes que escribio se encuentra la relacionada con la disciplina de la Geometria¨La Geometrie¨.

La importancia matemática de “La géometrie” consiste en permitir expresar una curva como una expresion algebraica en una ecuacion polinomia de dos variables dejando de lado la caracteristica geometrica. Esta afirmación será precisada y demostrada doscientos años más tarde, en 1837, por Jean Pierre Wantzel.

Para Descartes las curvas geométricas deben ser construíbles con algún ingenio que tenga la misma precisión que la regla y el compás. No hay razón alguna, según Descartes, para limitarse a estos dos instrumentos a la hora de resolver problemas geométricos.

Ejercicios

Construir la parábola de Vértice (3,2) y Foco (3,4); Halla su ecuación estándar su ecuación general.

1. Se ubican los puntos que da el problema como lo es el foco y el vértice.

2. Se halla el eje se simetría (Es una recta que divide la parábola en dos partes iguales o simétricas.

X=3

3. Definir si la parábola es vertical o horizontal

4. Hallar el valor de P

P=2

5. Hallar la directriz( es la recta que refleja el lado recto)

Y=0

6. Hallare el lado recto ( Es una recta perpendicular a el eje de simetría y que pasa por el foco y es igual a 4 veces P) se reparte del foco hacia la izquierda y la derecha la misma cantidad teniendo en cuenta que sean equitativas

4P=4x2

7. Dibujar la parábola teniendo en cuenta que el lado recto dará la abertura de esta

8. Para hallar la ecuación debemos tener en cuenta que es una parabola vertical y abre susu ramas hacia arriba. Usamos la siguiente ecuación

(x-h)²= + 4p (y-k)

9.         Reemplazamos :

Vértice = (h,k) es decir (3,2) (x-3)2= 4(2)(y-2)

(x-3)2= 8 (y-2)        Ecuación estándar
X2-6x+9=8y - 16

X2-6x+9-8y+16=0

X2-6x+25-8y=0       Ecuación general

Determinar las ecuaciones de la parabola que tiene como foco (2,0) y vertice (0,0)

(y-k)² = 4P (x-h)

(y-0)² = 4(2) (x-0) Ecuación estándar

Y² = 8x

LR= 4P

LR=4(2)

LR= 8 P=2

Calcular las coordenadas del vértice de las siguientes parábolas:

· Y²+4x-4y-20=0

Y²-4y+4x-20=0

(y²-4y)= -4x+20

(y²-4y+4)= -4x+20+4

(y+2)²= -4x+24

(y+2)²= 4(-x+6)

Vertices = (-2,6)

· x²-6x-12y-15=0

x²-6x=12y+15=0

x²-6x+9=12y+15+9

(x-3)² = 12y+24

(x-3)²= 4(3y+6)

Vertices: (-3,6)

· 4y²+24x+12y-39=0

4y²+12y+24x-39=0

4y²+12y=-24x+39=0

4y²+12y+36=-24x+39+36

(2y+6)²=-24x+75

(2y+6)²=3(-8x+25)

Vértice: (6,25)

· X²-8x+3y+10=0

X²-8x=-3y-10

X²-8x+16=-3y-10+16

(x-4)²= -3y+6

(x-4)²= 3(-y+2)

Vertice: (-4,2)

Ejercicios de aplicación

1. Usando la definición, hallar la ecuación de la parábola que tiene su foco en F(2,0) y su dirección DD es la recta de ecuación X=-2 trazar la gráfica

2. Dada la parábola que tiene por ecuación X^2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, analizar la simetría de la curva y trazar la gráfica

3. Determine el vértice V y la ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta de ecuación X=2 y cuyo foco
esta localizado en el punto F(4,2) y trazar la gráfica

4.Determine el vértice V, el foco F, la ecuación de la directriz, el eje focal y dibujar la 6y^2 + 16x -8y + 14 = 0

5. Determinar los elementos de la parábola X^2-6x-6y+39=0

6. Determinar las ecuaciones de las parábolas que tienen:

De directriz x = -3, de foco (3, 0).
De directriz y = 4, de vértice (0, 0).
De directriz y = -5, de foco (0, 5).

7.Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de las siguientes parábolas, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

6y^2-12x=0
2y^2=-7x
15x^2=-42

8. Hallar la ecuación de la parábola de eje vertical y que pasa por los puntos: A(6, 1), B(-2, 3), C(16, 6).

9. Determina la ecuación de la parábola que tiene por
directriz la recta: y= 0 y por foco el punto (2, 4).

10. Calcular la posición relativa de la recta r=x+y-5=0 respecto a la parábola y²=16x.

Partes

Foco. Es un punto localizado al “interior” de la curvatura de la Parábola. Físicamente es el punto hacia donde se refleja o “rebota” todo aquello que “choca” con su cara. La distancia del vértice al foco se conoce como p.

Lado Recto. Es la distancia que hay entre dos puntos simétricos de la parábola con la condición de que se mida pasando por el foco en forma paralela a la Directriz.

Directriz. Recta desplazada a la misma distancia p del vértice pero en sentido contrario. Perpendicular al eje de la parábola.

Vértice. Punto desde donde se “abre” la Parábola. La Geometría Analítica de don René Descartes permitió trabajar con ocho casos de Parábolas (por lo menos son los más básicos). Las que se abren a la derecha, a la izquierda, hacia arriba y hacia abajo e igual número de casos para cuando tienen su vértice fuera del origen.